引 言
索是一種重要的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，受力的合理性使得由其組成的結(jié)構(gòu)一般具有較大的跨越能力，索的計算理論因此也引起了眾多學(xué)者的關(guān)注. 關(guān)于索的分析有多種方法，其中，解析索單元法由于基于索的靜力解析解而具有很高的精度. 該方法源于O’Brien的柔性迭代法，Peyrot 等將其發(fā)展成為一種基于剛度法的單元，Jayaraman 等。則進(jìn)一步給出了剛度矩陣的顯式表達(dá). 其雖然不是真正意義上的有限元法，但從結(jié)構(gòu)分析角度來看，仍可作為一種結(jié)構(gòu)矩陣分析方法納入有限元法的框架中與其他類型單元一起使用. 采用不同的變量形式，解析索單元有多種本質(zhì)上相同的表達(dá)形式，這里針對的是 Jayaraman 的形式，它也是目前被廣泛采用的。
由于 Jayaraman 給出的解析索單元是以 Peyrot等的理論為基礎(chǔ)的，其溫度計算實際上承襲了Peyrot 的方法，即采用某一溫度下的無應(yīng)力長度作為公式中的無應(yīng)力長度進(jìn)行計算，現(xiàn)有文獻(xiàn)基本都采用了這種方法. 該方法存在的一個問題是，溫度應(yīng)變和靜力應(yīng)變計算采用的參考狀態(tài)實際上不同，前者針對的是真正的無應(yīng)變狀態(tài)，而后者則相當(dāng)于以前者的結(jié)果作為參考狀態(tài). 這顯然是不盡合理的，兩種應(yīng)變的疊加也是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)? 對于懸索的計算而言，嚴(yán)格來講均應(yīng)以無應(yīng)變狀態(tài)作為參考狀態(tài). 針對這一問題，本文對已有推導(dǎo)過程作了適當(dāng)修正，以使得應(yīng)變的參考狀態(tài)均為無應(yīng)變狀態(tài)。
理論推導(dǎo)
關(guān)于考慮彈性的情況，O’Brien 等并未給出合理的推導(dǎo)，Jennings對其的討論也并未給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)過程，而 Peyrot 和 Jayaraman 的工作基于的是前兩者的結(jié)果. 考慮到問題的等價性，本文采用Irvine 等的推導(dǎo)方法.如圖 1 所示的索段, 懸掛于 A,B 兩點，兩點水平和豎直間距分別為 l 和 h, 取自原點 A 至索上一點的索段做受力分析，在理想柔性和線彈性假定下，由x 和 z 兩個方向的平衡條件可得
其中，s 表示無應(yīng)變時的弧長坐標(biāo)，p 表示變形后的弧長坐標(biāo)，H 和 V 分別是端部拉力的水平和豎直分量，T 為索拉力，q 為索無應(yīng)變時每延米重量.
其中，E 為索彈性模量，A 為索在無應(yīng)變狀態(tài)下的截面積，與 Irvine 等不同的是這里考慮了溫度效應(yīng)的影響，α 為線膨脹系數(shù)，∆t 為溫度變化，以溫度升高為正. 由幾何條件顯然有關(guān)系式
在前面基礎(chǔ)上利用鏈?zhǔn)轿⒎址▌t
及兩端邊界條件
為索無應(yīng)變長度. 式 (2) 和式 (3) 即為考慮溫度效應(yīng)修正后的索靜力控制方程. 值得注意的是，這里計算需要的參量 (q 和 A) 均是無應(yīng)變狀態(tài)下的，而這正是工程中容易知道的. 相比而言，傳統(tǒng)方法則需要變形后的各參量，因其未知而需要通過迭代來獲得，或是直接不區(qū)分彈性變形前后兩種狀態(tài). 利用對數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)的關(guān)系，式 (2) 和式 (3) 也可寫成反三角函數(shù)形式.由于式 (1) 中的溫度和靜力應(yīng)變針對的都是無應(yīng)變狀態(tài) s，由此得到的式 (2) 和式 (3) 便解決了本文提出問題. 文獻(xiàn) [9] 對懸索橋主纜的溫度效應(yīng)采用解析方法進(jìn)行了分析，但其公式實際上相當(dāng)于將Peyrot 方法展開，并未解決上述問題.圖 2 為一局部坐標(biāo)系下的兩端坐標(biāo)差為 (l,h)的懸索單元 IJ. 為與文獻(xiàn) [4] 一致，在圖 2 所示的坐標(biāo)系下進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q (變換時可直接利用標(biāo)量和矢量的性質(zhì)) 可得相應(yīng)的表達(dá)形式。
這樣，就可以采用 Newton--Raphson 法進(jìn)行計算求得一定條件下的索端力，具體的求解方法可見文獻(xiàn) [4]. 關(guān)于迭代初始值的選用可參考文獻(xiàn) [4,11].這里的表達(dá)式與文獻(xiàn) [4] 基本相同，不同之處在于對溫度效應(yīng)的考慮進(jìn)行了修正.
2 算 例
這里給出文獻(xiàn) [3] 中的一個經(jīng)典算例，眾多關(guān)于解析索單元的研究均對此例進(jìn)行了計算，由于其涉及溫度變化問題，尤其適合本文. 如圖 3 的懸索，其參數(shù)分別為：
兩端高差為 60m，水平距離分別取 20m, 40m, 60m,80 m 和 100 m. 計算在這組參數(shù)下，索跨度取不同值時右端索力的水平和豎直分量.
分析時取用一個索單元，采用位移和力的雙重收斂準(zhǔn)則，收斂準(zhǔn)則 eps = 1.0 × 10−6，結(jié)果如圖 3所示，采用兩種方法計算得到的索端力如表 1 所示.表中原方法結(jié)果與文獻(xiàn) 基本相同，括號中為兩種方法的對比誤差 (以原方法為基準(zhǔn)).采用本文方法時，計算結(jié)果有些差別，但差別不大，隨著跨度的增加，兩者的差別呈增大的趨勢. 這是在預(yù)料之中的，因為隨著索逐漸被拉直，長度的微小變化都會造成索力的較大變化. 對實際問題而言，兩種方法的計算結(jié)果也不會相差很大，但本文方法顯然要更加合理.
3 結(jié) 論
對已有的解析索單元在考慮溫度效應(yīng)時存在的問題進(jìn)行了修正，使得靜力和溫度應(yīng)變均以無應(yīng)變狀態(tài)為參考態(tài)，算例說明了其合理性. 本文完善了經(jīng)典的解析索單元理論.
